Электростатика, электрическое поле, потенциал - лекции

Дивергенция

Электрическое поле имеет определенную величину и направление в каждой точке, т.е. E=E(x,y,z). В математике для характеристики локальных свойств векторных полей, т.е. их свойств в окрестности некоторой точки, вводятся соответствующие дифференциальные величины. Одной из них является дивергенция. По определению дивергенция векторной функции a (обозначается div a) есть следующая скалярная функция координат

(2.13)

где V - объем, в котором находится некоторая точка, а S - окружающая этот объем поверхность произвольной формы. Таким образом div a является потоком этого вектора наружу из объема V, приходящимся на единицу объема в пределе, когда V стягивается к этой точке.

Рис. 2.7

Предположим, что векторная функция a задана в декартовой системе координат. Это означает, что известны три скалярные функции ax(x,y,z), ay(x,y,z), az(x,y,z). Найдем выражение для дивергенции в точке P(x,y,z) в декартовой системе координат. Выберем область, оружающую точку P в виде ящика со сторонами x, y, z. Найдем суммарный поток Ф(x) вектора a через две противоположные грани, перпендикулярные оси x:

где ax1и ax2 средние значения проекций ax на гранях, к которым на рис. 2.7 проведены соответствующие нормали.

Приближенно можно записать, что

Тогда

где V - объем ящика.

По аналогии можно записать и компоненты потока через пары противоположных граней, перпендикулярных осям y и z. Тогда полный поток вектора a через всю поверхность ящика будет

Устремляя объем ящика к нулю, путем стягивания его к точке P перейдем от приближенного равенства к точному и получим, согласно определению дивергенции (2.13), что в декартовых координатах

(2.14)

Учитывая, что векторный оператор набла определен в декартовых координатах как

можно представить дивергенцию в виде скалярного произведения оператора набла на вектор a:

,

причем представление дивергенции в виде скалярного произведения оператора набла на вектор сохраняет силу и для других систем координат (цилиндрической, сферической и т.д.). И вектор и оператор набла должны быть, естественно, записаны в одной и той же системе (см. Лекцию 3, где оператор набла представлен в полярной системе координат).

Для выяснения физического смысла понятия дивергенции в случае электрического поля обратимся к представлению поля E силовыми линиями. Если в окрестности точки P зарядов нет, то количество линий входящих в ящик будет равно числу линий выходящих из ящика. Таким образом поток через всю поверхность, окружающую точку P, будет равен нулю, а с ним будет равна нулю и дивергенция (см. 2.13). Если вблизи точки P есть положительный заряд, то выходящие из него линии создадут дополнительный поток из ящика и, поскольку выходящие линии ориентированы в сторону внешней нормали к стенкам ящика, знак этого дополнительного потока будет положительным (а в случае отрицательного заряда в точке P - отрицательным). Тогда дивергенция будет мерой этого дополнительного потока на единицу объема, возникающего или исчезающего в точке P.

Пример 2. Два заряда 9Q и -Q закреплены на расстоянии l=50 см друг от друга. Третий заряд Q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q1, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым Решение. Заряд Q1 будет находиться в равновесии в том случае, если векторная сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд Q1 должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению.

Физика, математика лекции учебники курсовые студенту и школьнику