Для однородных диэлектриков объемный связанный заряд, как было показано выше, равен нулю. Стало быть внутри цилиндра окажется заряд, расположенный на границе раздела на элементе поверхности S. Этот заряд равен S·', где ' - поверхностная плотность связанного заряда на границе раздела диэлектриков. На основании теоремы Гаусса для вектора P запишем
(P2n - P1n ) S = -S·',
откуда
|
(P2n - P1n ) = - ' |
(5.18) |
Иными словами, на границе раздела нормальная составляющая вектора P испытывает разрыв, величина которого зависит от '. В частности, если среда 2 вакуум, то P2n = 0 и
|
Pn =' |
(5.19) |
где Pn проекция вектора P на внешнюю нормаль к поверхности данного диэлектрика.
В случае диэлектрика теорема Гаусса для вектора E запишется как
|
|
(5.20) |
где q и q' - находящиеся внутри поверхности S полные сторонний и связанный заряды, соответственно. Поскольку связанный заряд в диэлектрике индуцируется под воздействием искомого поля E, то применение теоремы Гаусса в виде (5.20) для определения напряженности поля становится практически невозможным. Для преодоления указанной трудности вводится вспомогательный вектор D. Логика определения этого вектора вытекает из следующих соображений. Выразим связанный заряд в (5.20) согласно (5.9)
|
|
(5.21) |
|
|
(5.22) |
Как видно из (5.22) если ввести вспомогательный вектор в виде D = 0EPто его поток будет определяться только сторонним зарядом, распределение которого предполагается известным. Тогда для вектора D теорема Гаусса имеет вид
|
|
(5.23) |
Пользуясь теми же соображениями, что и при переходе от интегральной формы теоремы Гаусса для вектора P к дифференциальной, запишем теорему Гаусса для вектора D в дифференциальной форме
|
|
(5.24) |
Для изотропного диэлектрика P = 0E. Тогда
|
|
(5.25) |
или
|
|
(5.26) |
где обозначено = 1+диэлектрическая проницаемость вещества. Для всех диэлектриков > 0. Для вакуума = 0.