Волновые свойства электронов
Итак, электромагнитное излучение обладает как волновыми, так и корпускулярными
свойствами (корпускулярно-волновой дуализм). Этот дуализм неразрывно связан с
существованием постоянной Планка 
- кванта действия. Квантование действия
можно получить, обобщив планковское правило квантования энергии осциллятора. Запишем
гамильтониан осциллятора – интеграл движения:
.
Отсюда
видно, что его фазовая траектория – эллипс с полуосями 
и 
. Площадь эллипса 
равна контурному интегралу по фазовой
траектории (в классической механике он называется переменной действия):
,
где учтен планковский постулат. Мы получили правило квантования произвольной одномерной системы, совершающей периодическое движение. Оно впервые было выведено самим Планком.
В 1913 г. Бор (N. Bohr) применил это правило к атому водорода,
рассмотрев частный случай движения электрона в кулоновском поле ядра по круговой
орбите. Выбрав в качестве координаты азимутальный угол 
, для соответствующего канонического импульса
- интеграла движения получаем условие
квантования: Спутник влетел в тень Земли. При этом температура внутри спутника,
равная вначале 290 К, понизилась на 1%, из-за чего давление воздуха, молярная
масса которого равна 29 г/моль, уменьшилось на 1 кПа. Определите массу воздуха
в спутнике, если его объем 8,31 м3. Универсальная газовая постоянная 8,31 Дж/(моль×К).
Ответ представьте в единицах СИ.
,
или 
.
Для частицы массы
, движущейся со скоростью 
по окружности радиуса 
(в плоскости (
)), имеем 
, т.е. - 
компонента момента импульса, или углового момента, 
. Таким образом, - квант углового момента.
Учтем уравнение движения электрона с зарядом -
в кулоновском поле ядра с зарядом ,
,
и
квантование момента: 
. Отсюда находим квантованные значения энергии электрона
в атоме водорода:
.