НАБЛЮДАЕМЫЕ И ОПЕРАТОРЫ
Зная плотность вероятности координаты частицы, можно найти среднее значение координаты – математическое ожидание:
.
Как найти среднее значение импульса 
? Рассмотрим волновой пакет:
Здесь время 
фиксировано и явно не указано в качестве одного из аргументов
волновой функции (ВФ). Преобразуем условие нормировки ВФ:
Здесь использовано известное соотношение:
.
Естественно, следуя Борну, интерпретировать 
как плотность вероятности обнаружить при измерении
импульс частицы 
. Фурье-образ
функции 
называется волновой функцией в импульсном
представлении. Ясно, что тогда среднее значение импульса
.
Проинтегрировав в последнем интеграле по частям в предположении, что
, получим
с учетом
выражение для среднего импульса в координатном представлении:
.
Итак, в пространстве волновых функций импульсу соответствует дифференциальный оператор:
.
Координате отвечает оператор умножения:
.
Заметим, что в пространстве волновых функций в импульсном
представлении 
имеем:
.
Поэтому, в частности, средняя координата
.
Полученные результаты обобщаются следующим образом: каждой
физической величине 
, значение
которой может быть в принципе измерено, -наблюдаемой однозначно соответствует
линейный оператор 
в пространстве
волновых функций.