Волновое уравнение Шрёдингера
Для монохроматической волны имеем
,
и учет закона дисперсии приводит к дифференциальному уравнению
для волновой функции
.
Это и есть уравнение Шрёдингера (E. Schrödinger) для свободной частицы, полученное им в 1926 г. Ввиду линейности этого уравнения (параболического типа) оно выполняется для произвольной суперпозиции монохроматических волн:
,
представляющей собой общее решение.
Возникает вопрос о связи уравнения Шрёдингера (УШ) и уравнений
классической механики. Заметим, что фаза монохроматической волны связана
с решением 
уравнения Гамильтона
– Якоби (УГЯ) для свободной частицы
очевидным соотношением
,
а сама волновая функция выражается через 
в виде
.
Подставив это выражение в УШ, получим для уравнение
,
которое отличается от УГЯ дополнительным слагаемым, пропорциональным
постоянной Планка 
, и эквивалентно УШ. В частном случае, когда - линейная функция 
, это слагаемое обращается в нуль. В общем
же случае УШ для 
переходит в УГЯ для только в (формальном) пределе 
.
Используем установленную связь УШ и УГЯ, чтобы найти УШ для частицы, движущейся
в потенциальном силовом поле 
. Запишем соответствующее классическое УГЯ:
.