Высшая математика - Векторная алгебра

Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную

Геометрическая оптика
Фотоэлектрический эффект
Ядерные реакции
Волновые свойства
Квантовая механика
Электростатика
Электромагнитное поле
Конструкционные материалы
Справочник по физике
Учебник по документообороту
Прикладная математика
Релятивистская механика
Задачник по ядерной физике
Высшая математика
Функции и их графики
Пределы функции
Непрерывность функций
и точки разрыва
Производные и дифференциалы
Свойства дифференцируемых
функций
Исследование функций
и построение графиков
Кривизна плоской кривой
Векторная алгебра
Прямые линии и плоскости
Кривые и поверхности
второго порядка
Учебник Outlook
Maple
  • Первое знакомство с Maple
  • Информационная поддержка
  • Работа с файлами и
    документами
  • Управление интерфейсом
    пользователя
  • Типы данных системы
  • Встроенные операторы и
    функции
  • Типовые средства
    программирования
  • Математический анализ
  • Анализ функций и полиномов
  • Символьные операции
  • Типовые средства
    построения графиков
  • Расширенные средства
    графики
  • Решение дифференциальных
    уравнений
  • Математические пакеты
  • Пакеты линейной алгебры
  • Обзор пакетов
  • Решение научных задач
    • MATLAB
  • Знакомство с MATLAB
  • Установка системы
  • Визуализация вычислений
  • Работа со справкой
  • Интерфейс MATLAB
  • Обычная графика MATLAB
  • Специальная графика
  • Операторы и функции
  • Математические функции
  • Операции с векторами
    и матрицами
  • Матричные операции
  • Функции разреженных матриц
  • Многомерные массивы
  • Массивы структур
  • Массивы ячеек
  • Численные методы
  • Обработка данных
  • Работа с символьными данными
  • Работа с файлами
  • Основы программирования
  • Отладка программ
  • Поддержка звуковой системы
  • Пакеты расширения MATLAB

    •  

    1. Векторная алгебра
      • Определение вектора Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики. Определение   Два вектора называются равными, то есть не различаются как векторы, если соответствующие отрезки параллельны, имеют одинаковую длину и направление.   Операции над векторами В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций. Определение   Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и $ {\vert{\bf a}\vert=\vert{\bf b}\vert}$ Теорема   Для любых векторов $ {\bf a},{\bf b},{\bf c}$ и любых вещественных чисел $ {\alpha},{\beta}$ выполняются следующие свойства: .        
      • Разложение вектора по базису Определение   Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости -- двумерным векторным пространством, в пространстве -- трехмерным векторным пространством. Замечание    Предложение 10.1 можно сформулировать следующим образом. Пусть $ L$  -- одномерное векторное пространство, $ {{\bf e}}_1$  -- система векторов пространства $ L$ , состоящая из одного ненулевого вектора. Тогда любой вектор из $ L$ раскладывается по этой системе векторов единственным образом.     Предложение   Пусть a,b и c -- некомпланарные векторы. Тогда любой вектор d раскладывается по этим векторам. Предложение При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
      • Линейная зависимость векторов Определение   Система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов $ {\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_k$ , из которых хотя бы один отличен от нуля, что $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k =0$ .   Предложение   Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.      
      • Попробуем составить несколько линейных комбинаций с ненулевыми коэффициентами, чтобы получить нулевой вектор Возьмем коэффициенты
      • Система координат и координаты вектора Рассмотрим случай трехмерного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку $ O$ и возьмем произвольную точку $ M$ . Радиус-вектором точки $ M$ по отношению к точке $ O$ называется вектор $ \overrightarrow {OM}$ .
      • Пример Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.
        • Так как точку пространства мы вынуждены изображать на плоскости, то, пока не указаны линии, связывающие изображение точки с осями координат, установить ее положение в пространстве невозможно!
      • Проекции вектора Здесь и в дальнейшем под словами "проекция точки" или "проекция вектора" всегда будем понимать ортогональную проекцию. Предложение   Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций. Эта неповторимость произведения архитектуры возникает не как случайность, а как результат творчества, сознательного раскрытия идеи и художественного содержания также средствами общечеловеческого языка архитектуры
      • Скалярное произведение Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них -- скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов. Теорема   Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3})$ Задача. Даны вершины треугольника: $ A(2;-1;3)$ , $ B(1;1;1)$ , $ C(0;0;5)$ . Найдите длину стороны $ AB$ и $ \angle ABC$ . Формула Грина Примеры решения и оформления задач контрольной работы
      • Дифференцирование неявно заданной функции Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением в окрестности точки .
      • Векторное произведение Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена. Предложение   Векторное произведение $ {\bf a}\times{\bf b}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b -- коллинеарные.
      • Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
      • Смешанное произведение Определение Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .  Предложение   Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.    Предложение   Объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторыa,b,c, равен $ \frac 16\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ .  
      • Нахождение координат вектора в произвольном базисе Пусть в правом ортонормированном базисе заданы векторы $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)}$ , $ {{\bf c}=({\gamma}_1,{\gamma}_2,{\gamma}_3)}$ , $ {{\bf d}=({\delta}_1,{\delta}_2,{\delta}_3)}$ . Цель данного раздела -- научиться определять, образуют ли векторы a,b,c базис, и, в случае положительного ответа на этот вопрос, научиться находить координаты вектора d в базисе a,b,c.
     
    Физика, математика лекции учебники курсовые студенту и школьнику