Кривизна графика функции Определение Пусть
кривая
задана как график функции
и
--
некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция
дифференцируема в некоторой окрестности точки
,
так что при
из этой окрестности к графику
можно проводить касательные, составляющие угол
с осью
.
Вершины кривых Определение Назовём
вершиной кривой
любую точку этой кривой, в которой кривизна
имеет локальный экстремум.
Радиус кривизны Определение Радиусом
кривизны кривой
в точке
называется число
,
где
--
кривизна линии
в точке
.
Если кривизна в точке
равна 0, то радиус кривизны формально полагаем равным
.
Упражнения Найдите вершины кубической параболы
.
Вычислите кривизну во всех этих вершинах.
Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn
Пример. Вычислить с точностью интеграл . Решение. Запишем разложение
функции в ряд Маклорена
Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума
В этой главе речь пойдёт о приближённом нахождении корней уравнения
. Дело в том, что решить это уравнение "точно", то есть
выразить его корни
через известные постоянные (целые числа, числа
,
и другие им подобные) с помощью элементарных функций от
этих постоянных, удаётся далеко не всегда
Отделение корней Во многих приближённых методах
нахождения корня уравнения
заранее требуется знать какой-либо отрезок
,
на котором лежит искомый корень
,
и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не
должен содержать других корней уравнения
).
Криволинейный интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной
работы
Пример Рассмотрим уравнение
.
Это уравнение третьей степени, поэтому у него не более трёх корней
Социальное содержание всегда было определяющим в становлении художественных
образов, пространственных концепций, стилистике, направленности эмоционально-эстетического
воздействия, воспринимаясь через общечеловеческое понимание языка
архитектуры.
Метод простого перебора Пусть задана точность
,
с которой мы хотим приближённо найти корень
.
Это означает, что мы должны предъявить в качестве результата вычислений известное
число
,
которое отличается от истинного значения корня
(которое нам неизвестно) не более чем на
:
.
Метод половинного деления Снова предположим, что
корень отделён на отрезке
и знаки
и
различны (функция
меняет знак при переходе через корень
).
Метод простых итераций Предположим, что уравнение
при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду
.
Каждая следующая итерация
будет в этом случае расположена дальше от корня
,
чем предыдущая,
.
При этом, в зависимости от того, пересекает ли график прямую
"снизу вверх" или "сверху вниз" (см. рис.), последовательность
монотонно удаляется от корня
или же итерации удаляются от
,
оказываясь попеременно то справа, то слева от корня.
Метод секущих В качестве функции
берут любую постоянную
,
знак которой совпадает со знаком производной
в окрестности
(и, в частности, на отрезке, соединяющем
и
).
Постоянная
не зависит также и от номера шага
.
Метод одной касательной Заметим, что в методе секущих
удобно было бы фиксировать наиболее удобное для первого шага значение
,
при котором все секущие параллельны касательной, проведённой к графику
при
.
При таком выборе
метод секущих называется методом одной касательной.
Метод Ньютона (метод касательных) Рассмотрение
предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут приближаться к
корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только
на первом, а на каждом шаге
Метод хорд (метод линейной интерполяции) Метод
простых итераций во всех рассмотреннных вариантах использует для построения очередного
приближения
только информацию о функции в одной лишь точке
;
при этом никак не используются предыдущие значения 
Пример
Решим уравнение
методом хорд. Зададимся точностью
и возьмём в качестве начальных приближений
и
концы отрезка, на котором отделён корень:
.
Приближённое нахождение точки экстремума Пусть
дана функция
,
для которой на заданном отрезке
нужно найти максимальное значение
или минимальное значение
и установить, в какой точке
это экстремальное значение достигается.
Метод простого перебора Будем предполагать, что
искомый минимум является строгим, то есть
при всех
,
,
и других точек локального минимума на отрезке нет.
Метод почти половинного деления Пусть
--
непрерывная функция, точку минимума которой на отрезке
мы хотим найти с точностью
.
В этом методе мы предполагаем, что
--
единственная точка локального минимума функции
на отрезке
.
Метод золотого сечения и метод Фибоначчи Метод
почти половинного деления требует на каждой итерации двух вычислений значений
функции: в точках
и
.
Имеются два схожих по идее, но более экономных метода, в которых каждая итерация
требует только одного нового вычисления значения функции
Методы, связанные с приближённым нахождением корня
производной Как уже отмечалось выше, если известно, что точка локального экстремума
функции
на отрезке
единственна и лежит внутри отрезка, то в этой точке
выполняется равенство
.
Упражнения Найдите с точностью
приближённые значения корней уравнений