Высшая математика - Кривизна плоской кривой

Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную

Геометрическая оптика
Фотоэлектрический эффект
Ядерные реакции
Волновые свойства
Квантовая механика
Электростатика
Электромагнитное поле
Конструкционные материалы
Справочник по физике
Учебник по документообороту
Прикладная математика
Релятивистская механика
Задачник по ядерной физике
Высшая математика
Функции и их графики
Пределы функции
Непрерывность функций
и точки разрыва
Производные и дифференциалы
Свойства дифференцируемых
функций
Исследование функций
и построение графиков
Кривизна плоской кривой
Векторная алгебра
Прямые линии и плоскости
Кривые и поверхности
второго порядка
Учебник Outlook
Maple
  • Первое знакомство с Maple
  • Информационная поддержка
  • Работа с файлами и
    документами
  • Управление интерфейсом
    пользователя
  • Типы данных системы
  • Встроенные операторы и
    функции
  • Типовые средства
    программирования
  • Математический анализ
  • Анализ функций и полиномов
  • Символьные операции
  • Типовые средства
    построения графиков
  • Расширенные средства
    графики
  • Решение дифференциальных
    уравнений
  • Математические пакеты
  • Пакеты линейной алгебры
  • Обзор пакетов
  • Решение научных задач
  • MATLAB
  • Знакомство с MATLAB
  • Установка системы
  • Визуализация вычислений
  • Работа со справкой
  • Интерфейс MATLAB
  • Обычная графика MATLAB
  • Специальная графика
  • Операторы и функции
  • Математические функции
  • Операции с векторами
    и матрицами
  • Матричные операции
  • Функции разреженных матриц
  • Многомерные массивы
  • Массивы структур
  • Массивы ячеек
  • Численные методы
  • Обработка данных
  • Работа с символьными данными
  • Работа с файлами
  • Основы программирования
  • Отладка программ
  • Поддержка звуковой системы
  • Пакеты расширения MATLAB

  • Кривизна графика функции Определение Пусть кривая $ L$ задана как график функции $ y=f(x)$ и $ M_0(x_0;f(x_0))$ -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция $ f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $ x_0$, так что при $ x$ из этой окрестности к графику $ y=f(x)$ можно проводить касательные, составляющие угол $ {\alpha}(x)$ с осью $ Ox$.

    Вершины кривых Определение  Назовём вершиной кривой $ y=f(x)$ любую точку этой кривой, в которой кривизна $ k(x)$ имеет локальный экстремум.

    Радиус кривизны Определение   Радиусом кривизны кривой $ L$ в точке $ M\in L$ называется число $ r=\dfrac{1}{k}$, где $ k$ -- кривизна линии $ L$ в точке $ M$. Если кривизна в точке $ M$ равна 0, то радиус кривизны формально полагаем равным $ +\infty$.     

    Упражнения   Найдите вершины кубической параболы $ {y=x^3}$. Вычислите кривизну во всех этих вершинах.

    Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn

    Пример. Вычислить с точностью интеграл . Решение. Запишем разложение функции в ряд Маклорена

    Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума В этой главе речь пойдёт о приближённом нахождении корней уравнения $ f(x)=0$. Дело в том, что решить это уравнение "точно", то есть выразить его корни $ x_1,x_2,\dots$ через известные постоянные (целые числа, числа $ e$, $ \pi$ и другие им подобные) с помощью элементарных функций от этих постоянных, удаётся далеко не всегда

    Отделение корней Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения $ f(x)=0$ заранее требуется знать какой-либо отрезок $ [a;b]$, на котором лежит искомый корень $ x^*$, и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения $ f(x)=0$). Криволинейный интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы

    Пример Рассмотрим уравнение $ x^3-4x+2=0$. Это уравнение третьей степени, поэтому у него не более трёх корней Социальное содержание всегда было определяющим в становлении художественных образов, пространственных концепций, стилистике, направленности эмоционально-эстетического воздействия, воспринимаясь через общечеловеческое понимание языка архитектуры.

    Метод простого перебора Пусть задана точность $ {\varepsilon}$, с которой мы хотим приближённо найти корень $ x^*$. Это означает, что мы должны предъявить в качестве результата вычислений известное число $ \wt x$, которое отличается от истинного значения корня $ x^*$ (которое нам неизвестно) не более чем на $ {\varepsilon}$: $ \vert\wt x-x^*\vert\leqslant {\varepsilon}$.

    Метод половинного деления Снова предположим, что корень отделён на отрезке $ [a;b]$ и знаки $ f(a)$ и $ f(b)$ различны (функция $ f(x)$ меняет знак при переходе через корень $ x^*$).

    Метод простых итераций Предположим, что уравнение $ f(x)=0$ при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду $ x={\varphi}(x)$.

    Каждая следующая итерация $ x_{i+1}$ будет в этом случае расположена дальше от корня $ x^*$, чем предыдущая, $ x_i$. При этом, в зависимости от того, пересекает ли график прямую $ y=x$ "снизу вверх" или "сверху вниз" (см. рис.), последовательность $ \{x_i\}$ монотонно удаляется от корня $ x^*$ или же итерации удаляются от $ x^*$, оказываясь попеременно то справа, то слева от корня.

    Метод секущих В качестве функции $ {\lambda}(x)$ берут любую постоянную $ {\lambda}_0$, знак которой совпадает со знаком производной $ f'(x)$ в окрестности $ E$ (и, в частности, на отрезке, соединяющем $ x_0$ и $ x^*$). Постоянная $ {\lambda}_0$ не зависит также и от номера шага $ i$.

    Метод одной касательной Заметим, что в методе секущих удобно было бы фиксировать наиболее удобное для первого шага значение $ {\lambda}_0=\dfrac{1}{f'(x_0)}$, при котором все секущие параллельны касательной, проведённой к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$. При таком выборе $ {\lambda}_0$ метод секущих называется методом одной касательной.

    Метод Ньютона (метод касательных) Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только на первом, а на каждом шаге

    Метод хорд (метод линейной интерполяции) Метод простых итераций во всех рассмотреннных вариантах использует для построения очередного приближения $ x_{i+1}$ только информацию о функции в одной лишь точке $ x_i$; при этом никак не используются предыдущие значения $ x_{i-1}, x_{i-2},\dots\;.$

    Пример  Решим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$ методом хорд. Зададимся точностью $ {\varepsilon}=0.000001$ и возьмём в качестве начальных приближений $ x_0$ и $ x_1$ концы отрезка, на котором отделён корень: $ x_0=-2,x_1=-1$.

    Приближённое нахождение точки экстремума Пусть дана функция $ f(x)$, для которой на заданном отрезке $ [a;b]$ нужно найти максимальное значение $ f_{\max}=\max\limits_{x\in[a;b]}f(x)$ или минимальное значение $ f_{\min}=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$ и установить, в какой точке $ x^*$ это экстремальное значение достигается.

    Метод простого перебора Будем предполагать, что искомый минимум является строгим, то есть $ f(x)>f(x^*)$ при всех $ x\ne x^*$, $ x\in[a;b]$, и других точек локального минимума на отрезке нет.

    Метод почти половинного деления Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция, точку минимума которой на отрезке $ [a;b]$ мы хотим найти с точностью $ {\varepsilon}$. В этом методе мы предполагаем, что $ x^*\in(a;b)$ -- единственная точка локального минимума функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$.

    Метод золотого сечения и метод Фибоначчи Метод почти половинного деления требует на каждой итерации двух вычислений значений функции: в точках $ l_i$ и $ r_i$. Имеются два схожих по идее, но более экономных метода, в которых каждая итерация требует только одного нового вычисления значения функции

    Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной Как уже отмечалось выше, если известно, что точка локального экстремума функции $ f(x)$ на отрезке $ [a;b]$ единственна и лежит внутри отрезка, то в этой точке $ x^*$ выполняется равенство $ f'(x^*)=0$.

    Упражнения Найдите с точностью $ {\varepsilon}=0.00001$ приближённые значения корней уравнений

     

     
    Физика, математика лекции учебники курсовые студенту и школьнику