В этой же главе изучается полезный приём вычисления пределов --
правило Лопиталя.
При большой спешке с этой главой можно лишь бегло ознакомиться,
оставив подробное изучение до тех времён, когда в дальнейшем Вам встретится
ссылка на соответствующие теоремы из этой главы. С этой целью попытаемся
систематизировать имеющиеся по этому вопросу данные различных отраслей
современных наук о человеке.
Четыре теоремы о дифференцируемых функциях В этом
разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех
точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми
на данном множестве.
Пример
Функция
имеет на отрезке
точку минимума
.
Производная функции существует при всех
:
.
Теорема
(Ролля) Пусть функция
дифференцируема на интервале
,
непрерывна в точках
и
и принимает в этих точках значение 0:
.
Тогда найдётся хотя бы одна точка
,
в которой
.
Вычислить тройной интеграл Примеры решения и оформления задач
контрольной работы
Найти ряд Маклорена для функции .
Теорема (Лагранж
а) Пусть функция
дифференцируема на интервале
и непрерывна в точках
и
.
Теорема (Коши)
Пусть функции
и
дифференцируемы на интервале
и непрерывны при
и
,
причём
при всех
.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
(первого рода)
Правило Лопиталя На основе теоремы Коши мы выведем
правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно
малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения
бесконечно малых.
Замечание
При доказательстве мы одновременно вывели правило Лопиталя и для
односторонних пределов (то есть пределов при базах
и
):
Пример Рассмотрим предел
Его легко вычислить, заметив, что величина
--
величина, локально ограниченная при базе
,
а величина
--
бесконечно малая:
Замечание
Немного изменив доказательство, мы получим, что правило Лопиталя для отношения
двух бесконечно больших верно для односторонних пределов (при базах
и
);
Сравнение бесконечно больших величин Пусть
--
некоторая база, и
и
--
функции, заданные на некотором окончании этой базы. В главе 2 мы изучали сравнение
функций
и
при базе
в случае, когда они является бесконечно малыми. Здесь же мы изучим сравнение бесконечно
больших
и
.
Пример При
рассмотрим функции
(
)
и
(
).
Покажем, что при всех таких
и
имеет место соотношение 
Упражнение
Докажите, что
при любом, как угодно малом
имеет больший порядок роста при
,
чем любая, сколь угодно большая степень логарифма
,
(
,
).
Пример
Пусть множество
состоит только из двух элементов. Один обозначим
, а другой обозначим
, то есть
. Тогда можно образовать с учетом порядка элементов
только четыре пары:
,
,
,
.
Многочлен Тейлора Многочлен
,
наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом
Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции
,
мы сможем вместо сложного вычисления значений функции
приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена
.
Остаток в формуле Тейлора и его оценка
Разность
между функцией
и её многочленом Тейлора называется
-м
остатком, или
-м
остаточным членом; обозначим этот остаток через
:
Теорема (остаток в формуле Тейлора в форме
Лагранжа) Пусть при всех
существует
-я
производная
.