Высшая математика - Производные и дифференциалы

Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную

Геометрическая оптика
Фотоэлектрический эффект
Ядерные реакции
Волновые свойства
Квантовая механика
Электростатика
Электромагнитное поле
Конструкционные материалы
Справочник по физике
Учебник по документообороту
Прикладная математика
Релятивистская механика
Задачник по ядерной физике
Высшая математика
Функции и их графики
Пределы функции
Непрерывность функций
и точки разрыва
Производные и дифференциалы
Свойства дифференцируемых
функций
Исследование функций
и построение графиков
Кривизна плоской кривой
Векторная алгебра
Прямые линии и плоскости
Кривые и поверхности
второго порядка
Учебник Outlook
Maple
  • Первое знакомство с Maple
  • Информационная поддержка
  • Работа с файлами и
    документами
  • Управление интерфейсом
    пользователя
  • Типы данных системы
  • Встроенные операторы и
    функции
  • Типовые средства
    программирования
  • Математический анализ
  • Анализ функций и полиномов
  • Символьные операции
  • Типовые средства
    построения графиков
  • Расширенные средства
    графики
  • Решение дифференциальных
    уравнений
  • Математические пакеты
  • Пакеты линейной алгебры
  • Обзор пакетов
  • Решение научных задач
    • MATLAB
  • Знакомство с MATLAB
  • Установка системы
  • Визуализация вычислений
  • Работа со справкой
  • Интерфейс MATLAB
  • Обычная графика MATLAB
  • Специальная графика
  • Операторы и функции
  • Математические функции
  • Операции с векторами
    и матрицами
  • Матричные операции
  • Функции разреженных матриц
  • Многомерные массивы
  • Массивы структур
  • Массивы ячеек
  • Численные методы
  • Обработка данных
  • Работа с символьными данными
  • Работа с файлами
  • Основы программирования
  • Отладка программ
  • Поддержка звуковой системы
  • Пакеты расширения MATLAB

      • Мгновенная скорость при прямолинейном движении Пусть материальная точка движется по координатной прямой $ Oy$, и её положение в момент времени $ x$ имеет координату $ y=f(x)$. Средняя скорость точки за произвольный промежуток времени $ [x_0;x_1]$, за который точка перемещается из положения $ y_0=f(x_0)$ в положение $ y_1=f(x_1)$, определяется как $ v_{[x_0;x_1]}=\dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$.

      Касательная к кривой на плоскости Пусть на координатной плоскости $ xOy$ построен график функции $ f(x)$, и $ x_0$-- некоторая внутренняя точка области определения $ \mathcal{D}(f)$. Прямая, проходящая через точки $ M_0(x_0;y_0)$ и $ M_1(x_1;y_1)$, где $ y_0=f(x_0)$ и $ y_1=f(x_1)$ ( $ x_1\ne x_0$),-- это секущая по отношению к графику $ y=f(x)$.

      Определение Число $ k_{x_0}$, в случае если задающий его предел существует, называют производной функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначают $ f'(x_0)$. Иногда для уточнения говорят, что производная вычислена по переменной $ x$.

      Производная Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$

      Замечание В числителе дроби, предельное значение которой даёт производную, стоит выражение $ {\Delta}y=y_1-y_0=f(x_1)-f(x_0)=f(x_0+h)-f(x_0)$. Оно называется приращением функции. В знаменателе стоит величина $ {\Delta}x=x_1-x_0=h$. Она называется приращением аргумента Вычисление длины дуги кривой Примеры решения и оформления задач контрольной работы

      Теорема Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке $ x_0$. Тогда $ f(x)$ непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке $ x_0$.

      Свойства производных Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке $ x_0$, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. регистрация доменов

      Замечание Обозначим функцию $ f(x)$ через $ u$, а функцию $ g(x)$ через $ v$. Тогда формулы (4.7-4.10) можно более коротко записать в виде $\displaystyle (u\pm v)'=u'\pm v';\quad (uv)'=u'v+v'u; \quad \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$(при $\displaystyle v\ne0). $

      Выше мы уже рассмотрели линейную функцию $ f(x)=kx+b$ и показали, что её производная равна угловому коэффициенту $ k$:

      Элементы линейной алгебры Определители второго порядка

      Производные некоторых элементарных функций

      Найдём производную функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в точке $ x>0$. Преобразуем приращение функции следующим образом:

      Пусть $ f(x)=\sin x$. Тогда приращение функции равно

      Рассмотрим функцию $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $ \dfrac{\sin x}{\cos x}$ и применим для нахождения производной формулу

      Пример Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

      Дифференциал

      Геометрический смысл дифференциала $ df(x_0;{\Delta}x)$ мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная $ f'(x_0)$-- это угловой коэффициент $ k$ касательной к графику функции при $ x=x_0$, то дифференциал $ df=f'(x_0){\Delta}x=k{\Delta}x$-- это приращение ординаты $ Y$ точки касательной $\displaystyle Y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=kx+b$

      Производная композиции Пусть $ f(u)$ и $ {\varphi}(x)$-- такие числовые функции, что определена их композиция $ g(x)=(f\circ{\varphi})(x)=f({\varphi}(x))$. Предположим, что функция $ {\varphi}(x)$ определена в некоторой окрестности точки $ x_0$, а функция $ f(u)$-- в некоторой окрестности точки $ u_0={\varphi}(x_0)$. Тогда имеет место следующее утверждение.

      Инвариантность дифференциала Рассмотрим функцию $ y=f(u)$. Если предположить, что $ u$-- независимая переменная, то $\displaystyle dy=df(u;du)=f'_u(u)du.$

      Замечание Мы можем пояснить происхождение формулы (4.13), то есть формулы $ y'=f'\cdot{\varphi}'$, где $ y=f(u),u={\varphi}(x)$, записав её в виде $\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}.$

      Пример Найдём производную функции $ y=\mathop{\rm tg}\nolimits (5x^2+3)$. Здесь промежуточный аргумент равен $ u=5x^2+3$; $ u'_x=5\cdot2x=10x$.

    Производная обратной функции Пусть $ f(x)$-- непрерывная функция, монотонная на интервале $ (a;b)$. Тогда, как мы доказали в гл.3, функция $ y=f(x)$ имеет обратную функцию $ x={\varphi}(y)$, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале $ (c;d)$, в который функция $ f$ переводит интервал $ (a;b)$.

    Пусть $ f(x)$-- непрерывная функция, монотонная на интервале $ (a;b)$. Тогда, как мы доказали в гл.3, функция $ y=f(x)$ имеет обратную функцию $ x={\varphi}(y)$, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале $ (c;d)$, в который функция $ f$ переводит интервал $ (a;b)$. Пусть $ x_0\in(a;b)$-- фиксированная точка и $ y_0=f(x_0)\in(c;d)$-- точка, ей соответствующая. Тогда $ x_0={\varphi}(y_0)$.

    Производные некоторых элементарных функций (продолжение) Применим полученную формулу производной обратной функции (точнее, формулу (4.15)) для нахождения производных некоторых элементарных функций.

      Пример Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arcctg}\nolimits x$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\mathop{\rm ctg}\nolimits y$ ($ 0<y<\pi$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=-\dfrac{1}{\sin^2y}=-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2y$.

      Пример Найдём производную гиперболического тангенса $ \mathop{\rm th}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}$. Заметим для начала, что $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1$

    Сводка основных результатов о производных Для удобства приведём полученные выше результаты в виде таблицы. Всюду в этой таблице $ u$ и $ v$-- функции переменного $ x$, $ c$-- постоянная. Производные элементарных функций приведены в предположении, что $ u=u(x)$-- промежуточный аргумент сложной функции.

      Производные элементарных функций

    Производные высших порядков Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$.

      Пример Пусть $ y=f(x)=e^{kx}$. Тогда $\displaystyle y'=e^{kx}\cdot k=ke^{kx}; y''=k(e^{kx})'=ke^{kx}\cdot k=k^2e^{kx}; \dots; y^{(n)}=k^ne^{kx}; \dots.$

      Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность

      Напомним, что дифференциал функции $ f(x)$ (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой $\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$

    Производные функции, заданной параметрически Уравнение вида $ F(x;y)=0$, содержащее переменные $ x$ и $ y$, иногда можно разрешить относительно $ y$ и получить в явном виде зависимость $ y=y(x)$.

      Пример Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами: $\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

    Производная функции, заданной неявно

    Приближённое вычисление производных При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производные $ f'(x),f''(x),\dots$ часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции $ f(x)$, поскольку аналитические формулы, задающие $ f'(x),f''(x),\dots$, неизвестны

    Для нахождения способа приближённого вычисления второй производной введём такие обозначения.

    Примеры и упражнения

      Пример Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.

      Пример Найдём вторую производную функции $ y=x^2e^{-2x}$.

    Физика, математика лекции учебники курсовые студенту и школьнику