Третья глава посвящена изучению понятия непрерывности и точек
разрыва числовых функций. Здесь изучаются свойства непрерывных функций,
в том числе связанные с достаточно сложным понятием равномерной непрерывности.
Многие утверждения этой главы являются базовыми для различных приложений,
например, связанных с поиском корней уравнений и экстремумов функций.
Порядок и нарушение его, противопоставление разных композиционных систем
– только одна из возможностей диалектических пар, способных раскрыть
значимую информацию, усваиваемую через противопоставление
Если у Вас большие трудности со временем и Вы наглядно представляете себе, что
такое непрерывная функция, то поначалу вы можете бегло ознакомиться с этой главой,
возвращаясь к ней по мере надобности в дальнейшем, по мере появления ссылок на
утверждения этой главы.
Определение непрерывности функции Мы повторим здесь
определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах. Предложение
Функция
тогда и только тогда непрерывна в точке ,
когда она непрерывна в точке
справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:
Определение точек разрыва Дадим теперь определение
точек разрыва функции. Поверхностный интеграл Примеры решения и оформления
задач контрольной работы
Пример
Рассмотрим функцию ,
для которой
Найти разложение функции в ряд Фурье-Эрмита.
Пример
Возьмём .
Все точки области определения
этой элементарной функции являются точками непрерывности Свойства функций, непрерывных в точке Поскольку
точки
непрерывности функции
задаются условием ,
то часть свойств функций, непрерывных в точке ,
следует непосредственно из свойств пределов. Теорема
Пусть функции
и
таковы, что существует композиция ,
.
Пусть функция
непрерывна в точке ,
а функция
непрерывна в соответствующей точке .
Тогда композиция
непрерывна в точке .
Непрерывность функции на интервале и на отрезке
Определение Пусть --
некоторая функция, --
её область определения и --
некоторый (открытый) интервал (может быть, с
и/или ).
Назовём функцию
непрерывной на интервале ,
если
непрерывна в любой точке ,
то есть для любого
существует
(в сокращённой записи:
Определение
Назовём функцию
непрерывной на множестве ,
если
Пример
Рассмотрим функцию
на отрезке .
Поскольку
и --
числа разных знаков, то функция
обращается в 0 в некоторой точке
интервала .
Это означает, что уравнение
имеет корень .
Лемма
Пусть --
непрерывная функция на отрезке ,
и множество
тех точек ,
в которых
(или ,
или )
не пусто. Теорема
(о достижении экстремума непрерывной функцией) Пусть функция
непрерывна на отрезке .
Тогда существует точка ,
такая что
при всех
(то есть --
точка минимума: ),
и существует точка ,
такая что
при всех
(то есть --
точка максимума: ).
Равномерная непрерывность Напомним, что непрерывность
функции
в точке
означает, что ,
то есть
Пример
Пусть функция
рассматривается на интервале .
Теорема Пусть
и функция
непрерывна на .
Тогда
равномерно непрерывна на .
Непрерывность обратной функции Теорема
Пусть --
непрерывная монотонная функция, ,
.
Тогда обратная к
функция
непрерывна на отрезке .
Гиперболические функции и ареа-функции Для рассмотрения
дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций,
обратных к гиперболическим.
Замечание
В англоязычной литературе используется обозначение
вместо ,
вместо ,
вместо ,
вместо .
Некоторые из свойств гиперболических функций схожи (но
не всегда в точности совпадают) со свойствами соответствующих тригонометрических
функций.
Примеры и упражнения
Пример
Пусть функция
определена на интервале
следующим образом:
Найдём её область непрерывности и точки разрыва.
Окружность
|