Высшая математика - Пределы функции

Геометрическая оптика Фотоэлектрический эффект Ядерные реакции Волновые свойства Квантовая механика Электромагнитное поле Задачник по ядерной физике Квантовая физика Электростатика Математика MATLAB Компьютерная математика Maple Лекции по математике учебник Outlook На главную

Геометрическая оптика
Фотоэлектрический эффект
Ядерные реакции
Волновые свойства
Квантовая механика
Электростатика
Электромагнитное поле
Конструкционные материалы
Справочник по физике
Учебник по документообороту
Прикладная математика
Релятивистская механика
Задачник по ядерной физике
Высшая математика
Функции и их графики
Пределы функции
Непрерывность функций
и точки разрыва
Производные и дифференциалы
Свойства дифференцируемых
функций
Исследование функций
и построение графиков
Кривизна плоской кривой
Векторная алгебра
Прямые линии и плоскости
Кривые и поверхности
второго порядка
Учебник Outlook
Maple
  • Первое знакомство с Maple
  • Информационная поддержка
  • Работа с файлами и
    документами
  • Управление интерфейсом
    пользователя
  • Типы данных системы
  • Встроенные операторы и
    функции
  • Типовые средства
    программирования
  • Математический анализ
  • Анализ функций и полиномов
  • Символьные операции
  • Типовые средства
    построения графиков
  • Расширенные средства
    графики
  • Решение дифференциальных
    уравнений
  • Математические пакеты
  • Пакеты линейной алгебры
  • Обзор пакетов
  • Решение научных задач
    • MATLAB
  • Знакомство с MATLAB
  • Установка системы
  • Визуализация вычислений
  • Работа со справкой
  • Интерфейс MATLAB
  • Обычная графика MATLAB
  • Специальная графика
  • Операторы и функции
  • Математические функции
  • Операции с векторами
    и матрицами
  • Матричные операции
  • Функции разреженных матриц
  • Многомерные массивы
  • Массивы структур
  • Массивы ячеек
  • Численные методы
  • Обработка данных
  • Работа с символьными данными
  • Работа с файлами
  • Основы программирования
  • Отладка программ
  • Поддержка звуковой системы
  • Пакеты расширения MATLAB

    •  

    Вторая глава имеет чрезвычайно важный для всего дальнейшего смысл. Здесь мы вводим и подробно разбираем понятие предела. На этом понятии основан весь современный анализ. Поэтому понятие предела нужно понять и прочувствовать, решая примеры, так чтобы в дальнейшем ссылки на свойства пределов и на вычисление конкретных пределов не вызывали необходимости всё вновь и вновь начинать читать учебник с начала. Ось или система осей определяют все многообразие приемов построения пространства

    Понятие предела мы разбираем не только в частных случаях пределов числовых функций числового аргумента, но и в общем случае, давая определение предела произвольной функции по произвольной базе. Это понятие, понадобится, в частности, при изучении во втором семестре определённых интегралов.

    Пределы

    Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается $\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$

    Пример Пусть $ x_0=0$ и рассматривается функция $ f(x)=2\sin x+1$. Вычислим объем шара Примеры решения и оформления задач контрольной работы

    Пример Покажем, что предел последовательности $ y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

    Пример. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты: и .

    Общее определение предела Заметим, что во всех определениях предыдущего пункта ключевым оказывалось определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное ($ x$ или $ n$), от которого зависит изменяющаяся величина ($ f(x)$ или $ y_n$).

    Определение Пусть $ \mathcal{B}$-- некоторая база и функция $ f(x)$ определена во всех точках $ x$ некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний $ E\sbs E_0$). Число $ L$ называется пределом функции $ f(x)$ по базе $ \mathcal{B}$ (или при базе $ \mathcal{B}$) и обозначается $\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x),$

    Теорема Кронекера-Капелли Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

    Пример Постоянная величина, то есть функция, значения которой $ C(x)=C$ не зависят от аргумента $ x$, имеет предел, равный этой постоянной, при любой (допустимой для данного множества аргументов $ x$) базе $ \mathcal{B}$.

    Упражнение Запишите с помощью неравенств, содержащих $ {\varepsilon}$ и $ {\delta}$, данное выше определение в развёрнутом виде. прописать ключ на e34, детали.

    Аналогично определяется предел функции при $ x$, стремящемся к $ x_0$ слева. Для этого достаточно указать, какие множества являются окончаниями базы этого предела.

      Замена переменного и преобразование базы при такой замене Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного

      Пример Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=3x-2$, где $ x\to2$.

      Пример Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $ x\to1$.

      Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела.

      Пример Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$-- бесконечно малая при $ x\to+\infty$, $ x\to-\infty$ и при $ x\to\pm\infty$.

      Пример При базе $ x\to+\infty$ рассмотрим две бесконечно малых величины: $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $ {\beta}(x)=\dfrac{1}{x^2}$.

      Теорема Пусть функция $ f(x)$ имеет предел при базе $ \mathcal{B}$. Тогда эта функция локально ограничена при этой базе.

      Пример Пусть $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $ f(x)=\sin x$. Так как $ {\alpha}(x)$ бесконечно мала, а $ f(x)$ локально ограничена при базе $ x\to\pm\infty$, то их произведение $ \dfrac{1}{x}\cdot\sin x=\dfrac{\sin x}{x}$-- бесконечно малая при $ x\to\pm\infty$, а также при $ x\to+\infty$ и при $ x\to-\infty$

      Общие свойства пределов В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

      Теорема Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе $ \mathcal{B}$:

      Следствие Пусть функции $ f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)$ имеют при базе $ \mathcal{B}$ пределы, равные соответственно $ L_1,L_2,\dots,L_n$, и $ C_1,C_2,\dots,C_n$-- постоянные.

      Теорема Пусть при одной и той же базе $ \mathcal{B}$ существуют пределы $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1}$ и $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2}$, причём $ {L_2\ne0}$. Тогда функция $ h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ определена на некотором окончании базы $ \mathcal{B}$, существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$, и $ L=\dfrac{L_1}{L_2}$, то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.

      Пример Найдём предел $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}.$

      Теорема (теорема о пределе неотрицательной величины) Пусть $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и существует $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$. Тогда $ L\geqslant 0$. Иными словами, при переходе к пределу

      Теорема (о пределе монотонной функции) Пусть рассматривается одна из баз $ n\to\infty$, $ x\to+\infty$, $ x\to x_0-$, которую обозначим $ \mathcal{B}$.знак нестрогого неравенства сохраняется.

      Первый и второй замечательные пределы Определение Первым замечательным пределом называется предел $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$

      Пример Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$.

      Определение Вторым замечательным пределом называется предел $\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

      Замечание Можно также показать, что $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e,$

      Пример Найдём предел $ \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}$.

      • Бесконечно большие величины и бесконечные пределы Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и имеет следующее свойство:
        для любого, как угодно большого, положительного числа $ N$ можно найти такое окончание $ E_N$ базы $ \mathcal{B}$, что при любом $ x\in E_N$ будет выполнено неравенство
      $\displaystyle \vert f(x)\vert>N.$

      Пример Примером бесконечно большой при $ {x\to+\infty}$ может служить $ {f(x)=x}$: в качестве окончания $ E_N$ можно тогда взять $ {(N;+\infty)}$.

      Теорема Пусть $ f(x)$-- функция, бесконечно большая при базе $ \mathcal{B}$. Тогда величина $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{f(x)}$-- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

      Использование непрерывности функций при вычислении пределов Определение Пусть $ x_0$-- внутренняя точка области определения функции $ f(x)$, то есть функция $ f(x)$ определена при всех $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), окружающего точку $ x_0$. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

      Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ [x_0;x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), примыкающем к точке $ x_0$ справа.

      Теорема Любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

      Сравнение бесконечно малых Определение Пусть фиксирована некоторая база $ \mathcal{B}$ и на некотором её окончании $ E$ заданы две функции $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$, бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$. Предположим также, что $ \psi(x)\ne0$ при всех $ x\in E$.

      Пример При базе $ x\to0$ величины $ Cx^t$ и $ Dx^t$, где $ t>0$ и $ C=\mathrm{const}\ne0$, $ D=\mathrm{const}\ne0$, имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел $ \dfrac{Cx^t}{Dx^t}=\dfrac{C}{D}$ постоянно и его предел равен $ \dfrac{C}{D}\ne0$.

      Предложение Если $ {\alpha}(x)$ имеет при базе $ \mathcal{B}$ больший порядок малости, чем $ {\varphi}(x)$, а $ \psi(x)$-- такой же порядок малости, что и $ {\varphi}(x)$, то $ {\alpha}(x)$ имеет больший порядок малости, чем $ \psi(x)$.

      Пример Согласно первому замечательному пределу, $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.$

      Пример Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x+x^2}{\sin5x+2x^3}.$

      Пример Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}$.

      Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$ Как показывает приведённый выше пример 2.36, пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые.

      Упражнения на вычисление пределов

     
     
    Физика, математика лекции учебники курсовые студенту и школьнику