Электродинамические потенциалы гармонического поля.
Уравнения Гельмгольца.
Практически все задачи электродинамики разделяют на 2 вида:
1. прямые задачи, в которых по заданному распределению сторонних источников необходимо определить соответствующее распределение электромагнитного поля.
2. обратные задачи, в которых по заданному распределению электромагнитного поля надо определить соответствующее распределение сторонних источников.
В этом разделе рассмотрим основные методы решения прямых задач электродинамики применительно для гармонического ЭМ поля и однородных линейных изотропных сред.
Относительно мгновенных значений векторов поля задачи решают очень редко, из-за сложности их определения. Обычно задачи решают для гармонических полей с использованием метода комплексных амплитуд. При решении любых электродинамических задач очень редко используют непосредственно уравнения Максвелла. Обычно уравнения Максвелла стараются свести к известным формам дифференциальных уравнений. Условия для касательных составляющих вектора E и D На границе раздела сред, отличающихся eа, выделим точку. Проведем через нее нормаль к поверхности S. Через эту нормаль проведем плоскость р.
На линии пересечения плоскостей выделим элементарный отрезок Dl, так, чтобы его можно было считать прямолинейным, и касательная, составляющая Е в I и II средах у границы раздела, была распределена равномерно. Отрезок Dl включает точку, в которой построили единичную нормаль. В этой точке проведем единичный вектор касательный к Dl и единичный вектор перпендикулярный к Dl. В плоскости р построим контур высотой Dh так, чтобы участки контура CD и АВ находились в разных средах. Положительное направление обхода контура ABCD связано с направлением единичной нормали правилом правого винта. Неразветвленная цепь синусоидального тока Рассмотрим цепь из трех последовательных токоприемников : первые два имеют активно-индуктивный характер, третий является последовательным соединением резистора и конденсатора. Проведем анализ цепи по векторной диаграмме
Рассмотрим гармонический электромагнитный процесс. Запишем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд:
(1)
(2)
Возьмем ротор от правой и левой части соотношения (1). Получим:
(3)
Воспользуемся известным тождеством: 
Из 4-ого уравнения Максвелла: 
следует, что:
(4)
Подставим (4) и (2) в соотношение (3) и получим:
или
(5)
В результате проведенных преобразований мы получили неоднородное дифференциальное уравнение, которое в математической физике называется неоднородным уравнением Гельмгольца. Это уравнение описывает волновые процессы. Векторное дифференциальное уравнение (5) можно записать в виде трех уравнений проекций:
(6)
Аналогичные уравнения можно получить и для вектора напряженности поля.
(7)
Меняя везде знаки, получим:
(8)
При анализе сред, в которых отсутствуют сторонние источники, неоднородные уравнения (5), (8) преобразуются в однородные:
(9)
Соотношения (5), (8), (9) называются уравнениями Гельмгольца относительно векторов поля.
Электродинамические потенциалы для комплексных амплитуд.
Даже уравнения Максвелла, преобразованные к уравнениям Гельмгольца в форме (5), (8), используются при решении электродинамических задач из-за сложной правой части. При решении задач для векторов поля уравнения используются только для полей без сторонних источников. Обычно, если рассматриваемые задачи со сторонними источниками, используют искусственный прием - вводят формальные поля, которые описываются некоторыми функциями, называемыми электродинамическими потенциалами. Для них решают электродинамическую задачу, а соответствующие вектора электромагнитного поля находят, используя уравнения связи между электромагнитными потенциалами и векторами поля.
Получим выражения для электродинамических потенциалов. Для этого запишем уравнения Максвелла:
(1)
(2)
(3)
(4)
Существует следующее векторное тождество:
и 
(5)
Векторную функцию 
называют векторным электрическим потенциалом. Соотношение
(5) при известном однозначно определяет вектор 
. Обратное определение неоднозначно, т.е. при известном
векторном поле соотношение (5) определяет неоднозначно. Известно, что 
.
Поэтому, если ввести 
и 
, то соотношение (5) не изменится. Поэтому соотношение
(5) определяет с точностью до градиента произвольной функции.
Подставим
(5) в (2). Получим: 
или 
(6)
Воспользуемся вновь тождеством:
и 
.
При этом: 
(7)
Скалярную функцию 
называют скалярным электрическим потенциалом. Знак "
- " поставлен, чтобы в случае электростатических полей мы получили соотношение,
связывающее напряженность электрического поля и электрический потенциал. С помощью
соотношений (5) и (7) определили векторы магнитного и электрического полей через
два формальных поля: поля векторного электрического потенциала и поля скалярного
электрического потенциала. Получим уравнения для их определения. Подставим соотношения
(5) и (7) в первое уравнение Максвелла:
Помножим на 
, раскроем 
и раскроем скобки.
Формальные поля векторного и электрического потенциалов были введены без ограничений, т.е. это совершенно произвольные функции. Единственное ограничение — это то, что векторное поле электрического потенциала определяется точностью до градиента произвольной функции. Поэтому мы вправе ввести какие-то ограничения. Пусть таким ограничением будет:
(8)
Равенство (8) называется условием калибровки.
А теперь: 
(9)
Аналогичным образом может быть получено выражение
для определения скалярного электрического потенциала. Для этого нужно воспользоваться
третьим уравнением Максвелла. Вместо 
запишем соотношение (7):
Вместо 
подставим то, чему она равна, используя условие калибровки:
окончательно получаем: 
(10)
Таким образом, мы получили 2 уравнения: векторное
дифференциальное и скалярное дифференциальное с простой правой частью. Из наших
рассуждений мы можем исключить , т.е. можем свести к нахождению только . Для этого в соотношении (7) исключим , используя соотношение (8). Из соотношения (8) следует:
(11)
Решение неоднородных уравнений Гельмгольца
Плоские электромагнитные волны. Под волнами подразумевают колебательные движения непрерывных сред. Принципиальные отличия в математическом описании волновых процессов и колебаний токов и напряжений в радиотехнических цепях состоит в том, что для полного описания любой системы достаточно знать конечное число токов и напряжений на различных участках схем. Для полного описания волнового процесса необходимо знать его характеристики в бесконечно большом числе точек в рассматриваемом пространстве. Природа волновых процессов весьма разнообразна: электромагнитные волны, акустические, гравитационные и т. д. Физики полагают, что при распространении любых волн среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс, в результате которого происходит распространение энергии в пространстве.
Плоские волны в однородной изотропной среде с проводимостью отличной от нуля. В среде с проводимостью отличной от нуля энергия электромагнитной волны частично расходуется на возбуждение и поддержание токов проводимости, т.е. волна в процессе распространения затухает. В общем случае наряду с джоулевыми потерями в среде могут присутствовать также диэлектрические и магнитные потери