Рассмотрим систему неоднородных уравнений
(13)
Пусть 
. Пусть 
– решение этой системы, т.е. Поверхностные интегралы
2 рода Математика вычисление интеграла
(14)
Вычитая из (13) выражение (14), получаем
.
Т.о.,
является решением соответствующего
однородного уравнения.
Пусть 
– фундаментальная система решений однородного уравнения. Тогда любое 
может быть представлено в виде:
.
Тогда получаем
(15)
Если
– частное решение уравнения (13),
то формулы (15) дают общее решение. Из (15) следует теорема.
Теорема 7. Общее решение СЛНУ (13) представляется в виде суммы произвольного частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы.
Следствие 1. Разность двух произвольных решений СЛНУ является решением соответствующей СЛОУ.
Следствие 2. Сумма любого частного решения СЛНУ с любым частным решением соответствующей СЛОУ дает частное решение СЛНУ.
Замечание. В формуле (7) вектор 
– частное решение СЛНУ, а вектора 
– частные решения СЛОУ.
Пространство геометрических векторов как пример линейного пространства
Направленные отрезки.
Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.
Def 1. Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.
Направленный отрезок обозначается 
или 
.
Def 2. Длиной 
направленного отрезка называется длина отрезка АВ.
 |
На чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце.
Def 3. Направленные
отрезки и 
называются сонаправленными, (обозначается 
), если они лежат на параллельных прямых
и направлены в одну сторону.
Направленные отрезки и называют противоположно направленными (пишут 
), если они лежат на параллельных прямых
и направлены в разные стороны.
Направленные отрезки и 
называются противоположными.
Каждую точку А пространства
можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот
отрезок обозначается 
и называется нулевым направленным
отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.
Def
4. Два направленных отрезка и считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют
равные длины. (Обозначают 
).
Эквивалентность является отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:
1о)
отрезок эквивалентен сам себе;
2о) если эквивалентен , то эквивалентен ;
3о) если эквивалентен и – эквивалентен 
, то эквивалентен .
Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.
Def 5. Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).
В школе вектор – это параллельный перенос.
Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора.
Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков.
Поэтому
часто будем писать: «вектор 
».
Длина 
.
Def
6 Вектор a такой, что 
называется единичным вектором или ортом. Множество нулевых
отрезков называется нулевым вектором 
. Его длина равна нулю, а направление не определено.
Def
7. Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются
коллинеарными. Обозначают 
. Нулевой вектор считается коллинеарным любому
вектору.
Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.
Def 8. Три и более векторов называются комплонарными, если они параллельны некоторой плоскости.
Для определенности любую тройку
векторов, содержащую нулевой вектор, считают комплонарной. Пусть даны два вектора
a и b. Из произвольной точки O пространства отложим 
и 
. Тогда 
есть направленный отрезок
и значит, определяет вектор.
Проекции вектора на ось Пусть в пространстве
задана некоторая прямая 
и единичный вектор 
. Def 1. Осью будем называть прямую, по которой задано направление.
Направление оси задается вектором 
(направляющий вектор оси).
Скалярное
произведение векторов. Def 1. Скалярным произведением двух векторов 
и 
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства векторного произведения. Векторное произведение двух не нулевых векторов равно нулю Û вектора-сомножители коллинеарны.
Смешанное произведение векторов
Пусть даны три вектора 
, 
, 
. Def 1. Смешанным произведением векторов называется произведение
следующего вида: 
, т.е. вначале вектора и перемножаются векторно, а затем результат умножается
скалярно на вектор .
Двойное векторное произведение
Def 1. Двойное векторное произведение векторов , , это произведение вида 
. Выразим двойное векторное произведение через скалярное.