Закрепленные и свободные вектора. Коллинеарность и компланарность. - Линейные операции, линейные комбинации и линейная зависимость векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости. - Условия линейной зависимости векторов на плоскости и в пространстве Базис. Разложение по базису. Координаты вектора. Аффинная система координат и координаты точки. Ортонормированный базис и прямоугольная система координат. - Деление отрезка в данном отношении. - Скалярное произведение и его свойства. - Ориентированная площадь параллелограмма относительно базиса и ее свойства, ориентация пары и ее геометрический смысл. Ориентированный объем параллелепипеда относительно ортонормированного базиса, ориентация тройки. Лемма о непрерывной зависимости коэффициентов при вращении и растяжении.Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.
Def 5. Совокупность векторов
называют базисом в
, если
1о. вектора
– линейно независимы;
2о. для
найдутся
![]()
. (1)
При этом равенство (1) называется разложением элемента
по базису
, а
называются координатами
относительно базиса
.
Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент
может быть единственным образом разложен по базису
, т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.
Доказательство. Пусть
и
. Тогда
. В силу линейной независимости
![]()
![]()
. ч.т.д.
Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов
и
их координаты (относительно любого фиксированного базиса в
) складываются; при умножении
на
, все координаты вектора умножаются на это число. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox области R, ограниченной кривой , и прямыми x = 0, x = 2π, y = 0. Геометрические приложения криволинейных интегралов
Доказательство. Пусть
- базис в
,
,
. Тогда в силу аксиом линейного пространства
,
. В силу единственности разложения по базису
что теорема доказана.
Примеры. 1о. Базис в
- любое ненулевое число.
2о.
. Базис образуют матрицы
,
, …,
с одним единичным элементом.
3о.
– множество многочленов степени не выше n. Базис:
,
, …,
.
4о.
– см. выше.
4о. Размерность линейного пространства.
Def 6. Линейное пространство
называется n-мерным, если
1о. В нем
n линейно независимых векторов.
2о.
векторов линейно зависимы.
Тогда n называется размерностью
и обозначается
.
Def 7. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем
любое число линейно независимых векторов.
Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.
Теорема 4. Если
– линейное пространство размерности n, то
линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.
Доказательство. Пусть
– система n линейно независимых векторов из
. Если
- любой вектор из
, то по Def 6, вектора
– линейно зависимы, т.е.
и среди
есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что
(т. к. иначе
– линейно зависимы)
, т.е.
– линейная комбинация
![]()
т. к.
– произвольный, то
–базис.
Теорема 5. Если
имеет базис, состоящий из n элементов, то
.
Доказательство. Пусть
– базис в
. Достаточно показать, что
векторов
линейно зависимы. Разложим их по базису:
,
…
,
где
.
Очевидно, что линейная зависимость векторов
эквивалентна линейной зависимости строк матрицы
.
Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из
строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).
Примеры. 1о.
. 2о.
. 3о.
. 4о.
. 5о.
.
5о. Изоморфизм линейных пространств.
Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.
Def 6. Два произвольных линейных пространства V и
над одним и тем же полем
называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам
отвечают соответственные вектора
, то вектору
отвечает вектор
, а вектору
при
отвечает вектор
.
Свойства изоморфных пространств. 10. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент
и наоборот.Док-во: Если
.
Ранг матрицы как максимальное число линейно независимых строк (столбцов).
Сумма и пересечение подпространств 5о. Прямая сумма подпространств.
Формулы Крамера. Рассмотрим частный случай, когда
и
, т.е.
– невырожденная матрица.
Построение решений СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли устанавливает совместимость СЛУ, но не дает практического рецепта их нахождения.
Рассмотрим матрицу
. Элементарными преобразованиями строк ее можно привести к ступенчатой матрице
:
:
Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Напомним, что матрица
называется обратной к
, если
. Обратные матрицы существуют лишь для невырожденных матриц, т.е.
.
Лемма 1. Система однородных уравнений всегда совместна. Really
– ее решение. Это решение называется тривиальным. Ненулевые решения называются нетривиальными.
Миноры и алгебраические дополнения |