Комплексные числа Эвристические соображения

Инварианты многочлена второй степени. Определение типа квадрик. - Семиинвариант. Единственность канонического уравнения и его нахождение. - Распадающиеся кривые. - Теоремы единственности для кривых второго порядка. - Теорема Паскаля. "Построение" кривой второго порядка по пяти заданным точкам. - Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Инвариантность определения. - Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с кривой. Типы кривых, связанные с наличием асимптотических направлений.

Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть АÎКm,n .выберем k номеров строк i1,….,ik, и k номеров столбцов j1,…..,jk: i1<i2<…< ik j1<j2<…< jk

Def5:минором порядка k матрицы А называется определитель матрицы порядка k,образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.

Обозначение:

Примеры: А=, ,

Def 6: Если А – квадратная порядка n,то каждому минору порядка к можно поставить в соответствие дополнительный минор  порядка n-k,элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов . Очевидно, что минор  будет в свою очередь дополнительным к .

Геометрические приложения поверхностных интегралов Вычислить площадь поверхности тора, заданного уравнением в цилиндрических координатах.

 

Алгебраическими дополнениями минора  называется произведение дополнительного минора на :

Если mij=aij =>aij=(-1)i+j

Пример:  => А22=(-1)2+2 =9

Теорема 1(о разложении определителя)

Если АÎКn,n и n>1,то detA равен сумме произведений элементов любой строки матрицы А на их алгебраические дополнения,те detA=ai1Ai1+…+ainAin, "i=1,…n.

Доказательство: Пусть

A=.Тогда , выбрав i-ю строку, определитель А можно представить как сумму: detA=, где i-я строка

Покажем, что =Aij. Переставляя n-j раз столбцы и n-i раз строки, получим :

Лемма 1: А=

Доказательство: detA====.

Рассмотрим tÎSn-1: t. Очевидно,что e(t)=,так что число инверсий в t и одно и тоже и значит detA== = чтд

Вернемся к доказательству теоремы: =

=(-1)i+j=aij. чтд

Следствие(разложение по чужой строке)

Сумма произведений всех элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство: Пусть А= (aij)ÎКn,n .рассмотрим матрицу , получающуюся из А заменой i-ой строки на j-ю,оставляя j-ю прежней=>detA=0. Напишем разложение   по i-ой строке: 0=det== = тк алгебраические дополнения к элементам i-ой строки у матрицы А и  совпадают. чтд

Пример:

|A|===(-1)= =2=2(-54+140-150+84)=40

Следующая теорема обобщает теорему 1.

Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна detA.Те если i1,…ik – выбранные строки, то detA=(1), где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов j1,….jk, 1£j1<j2<…<jn£n.

Обратная матрица. Пусть A – квадратная матрица порядка n над полем P. Def1:Матрица В Є Pn, n называется обратной для A, если AB=En. Def2: Квадратная матрица А называется невырожденной (или неособой), если.

Теорема о базисном миноре.Рассмотрим матрицу A Є Pm, n, где P-поле матрицы размера m·n Def3 Число r 0 называется рангом матрицы A, если

1) минор порядка r, отличный от нуля.

Линейное пространство Определение и простейшие свойства Пусть даны поле  с элементами, называемыми скалярами и обозначаемыми малыми греческими буквами , , , … и множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами  .

Закрепленные и свободные вектора. Коллинеарность и компланарность. - Линейные операции, линейные комбинации и линейная зависимость векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости. - Условия линейной зависимости векторов на плоскости и в пространстве Базис. Разложение по базису. Координаты вектора. Аффинная система координат и координаты точки. Ортонормированный базис и прямоугольная система координат. - Деление отрезка в данном отношении. - Скалярное произведение и его свойства. - Ориентированная площадь параллелограмма относительно базиса и ее свойства, ориентация пары и ее геометрический смысл. Ориентированный объем параллелепипеда относительно ортонормированного базиса, ориентация тройки. Лемма о непрерывной зависимости коэффициентов при вращении и растяжении.
Миноры и алгебраические дополнения