Поле рациональных дробей
Эвристические соображения.
В анализе
изучаются дробно-рациональные функции вида 
, где 
− многочлены. Мы их будем рассматривать
как формальные выражения. При этом используем обычные операции :
,
где 
; 
;
.
В этом случае две дроби определяют одну и ту же рациональную функцию. Дифференцирование
сложной функции Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t0,
а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке x0 = φ(t0).
Тогда сложная функция f[φ(t)] имеет производную в точке t0 u справедлива
следующая формула: 
2о. Точные определения.
Пусть
– поле, 
– кольцо многочленов над .
Определение
1. 
паре многочленов 
, где 
поставим в соответствие символ , называемый рациональной дробью с числителем
и знаменателем 
.
Замечание. Здесь используется термин «символ», т.к. мы не делим многочлены, хотя и иногда их можно разделить без остатка.
Определение 2. Рациональные дроби и 
называются равными, если в кольце имеется равенство
|
|
(1) |
.Свойства рациональных дробей.
1. 
дробь равна самой себе.
2. Свойство транзитивности: если 
и 
.
Действительно, 
, 
. Далее после деления на 
получим доказываемое равенство, т.к. – кольцо без делителей нуля.
Объединим все равные между собой дроби в один класс. Тогда множество всех рациональных дробей разбивается на непересекающиеся классы равных между собой дробей. На множестве этих классов мы хотим определить операции так, чтобы оно было полем. Для этого надо проверять, что замена представителя класса другим не изменяет результат с точки зрения принадлежности классу.
Лемма 1. Рациональная дробь превращается в равную дробь, если её знаменатель и числитель умножаются или сокращаются на один и тот же многочлен, отличенный от нуля.
Доказательство. Действительно,
так как из 
и можно разделитьна 
, то получаем, что операция не выводит из класса.■
Сложение рациональных дробей определим как
\
|
|
(2) |
Далее, если
,
| умножая первое на 
, а второе на 
и складывая | 
Т.о. если складывать дробь одного класса с дробью другого класса, то результаты всегда лежат в одном
и том же третьем классе. Этот класс называется суммой классов.
Коммутативность
из (2), а ассоциативность доказывается прямыми вычислениями.
Дроби вида 
равны между собой и образуют нулевой класс. Это нуль относительно
сложения. Действительно, 
. Из равенства 
противоположного класса.
Умножение определим формулой
|
|
(3) |
Пусть 
,
можно говорить о произведении классов равных между собой
дробей.
Коммутативность и ассоциативность из (3), а дистрибутивность доказывается прямыми
вычислениями.
Элементы вида 
обозначают единицу.
Если 
нулевому классу, т.е. 
определён класс 
- обратный класс к 
. Т.о. классы равных между собой рациональных дробей с
коэффициентами из P образуют поле, обозначаемое P(x) – поле рациональных дробей.
Многочлены – подмножество 
− кольцо.
Замечание. Аналогично над кольцом Z.
Определение 3. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.
Частные
случаи матриц. Если 
, то матрица
называется квадратной.
Блочные матрицы. Пусть
матрица 
при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита
на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших
размеров и называется блоком исходной матрицы.
Группа перестановок. Знак перестановки.
Определители Определение.
Пусть 
− коммутативное кольцо
с единицей.