Алгебра и аналитическая геометрия
Комплексные числа
Определение. Алгебраическая форма записи.
Определение 1. Комплексными числами называются упорядоченные пары 
действительных чисел 
и 
, если для них определены понятие равенства,
операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим аксиомам:
Два числа 
и 
равны тогда и только тогда, когда 
, 
, т.е.
|
|
(1) |
, 
.2°. Суммой комплексных чисел 
и называется число, обозначаемое 
и равное 
, т.е.
|
|
(2) |
+
=3°. Произведением комплексных чисел и называется число, обозначаемое 
и равное 
, т.е.
|
|
(3) |
=Множество комплексных чисел обозначается С. 
Парабола Курс лекций по математике
Формулы (2),(3) для чисел вида 
принимают вид
,
откуда следует, что операции сложения и умножения для чисел вида совпадают
со сложением и умножением для вещественных чисел Þ
комплексное число вида отождествляется
с вещественным числом .
Комплексное число 
называется мнимой единицей и обозначается 
, т.е. 
Тогда из (3) Þ 
.
Из (2),(3) Þ что 
и значит
|
|
(4) |
Выражение (4) называется алгебраической формой записи комплексного числа.
В алгебраической форме записи операции сложения и умножения принимают вид:
.
Комплексное число обозначают 
, 
– вещественная часть, – мнимая часть, 
– чисто мнимое число. Обозначение 
, 
.
Определение 2. Комплексное число 
называется сопряженным с комплексным числом .
Свойства комплексного сопряжения.
1°. 
.
2°. 
.
3°. Если 
, то 
.
4°. 
.
5°. 
– вещественное число.
Доказательство проводится непосредственным вычислением.
Определение 3. Число 
называется модулем комплексного числа 
и обозначается 
.
Очевидно, что 
, причем 
. Также очевидны формулы: 
и 
.
2°. Свойства операций сложения и умножения.
1°. Коммутативность: 
, 
.
2°. Ассоциативность:
, 
.
3°. Дистрибутивность: 
.
Доказательство 1° - 3° проводится непосредственными вычислениями на основе аналогичных свойств для вещественных чисел.
4°. 
, 
.
5°. 
, 
C 
! 
, удовлетворяющее уравнению 
. Такое
.
6°. ,C, 
0, ! 
: 
. Такое находится умножением уравнения на 
.
Пример. Представим комплексное число 
в алгебраической форме. Для этого умножим числитель
и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Имеем:
Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.
Корни n-ой степени из комплексного числа. Рассмотрим уравнение
|
|
(9) |
, 
С, 
N.Определение 3. Бинарная операция 
на X называется коммутативной, если 
; ассоциативной, если 
выполняется 
.
Закон сокращения в группе. Если 
. Доказательство следует из свойства 2°.Важный
пример (группа перестановок степени 
).
Поле, свойства поля. Пусть P – множество, содержащие не менее двух элементов.
Группа 
называется циклической группой, если она состоит из степеней
одного из своих элементов 
, т.е. совпадает с одной из своих циклических
подгрупп 
. Элемент
в этом случае называется образующим
элементом группы .